Ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са равен по­ло­ви­не ос­но­ва­ния рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка, ко­то­рый яв­ля­ет­ся осе­вым се­че­ни­ем, по­это­му этот ра­ди­ус равен 3 см.

Пра­виль­ный ответ ука­зан под бук­вой в).

Ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са равен по­ло­ви­не ос­но­ва­ния рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка, ко­то­рый яв­ля­ет­ся осе­вым се­че­ни­ем, по­это­му этот ра­ди­ус равен 2 см.

Пра­виль­ный ответ ука­зан под бук­вой б).

Про­ведём вы­со­ты FN и LM пи­ра­мид FABC и В тре­уголь­ни­ках FAN и LAM угол   — общий, а углы и   — пря­мые, зна­чит, эти тре­уголь­ни­ки по­доб­ны по двум углам, от­ку­да:

За­ме­тим, что:

Так как BK  — ме­ди­а­на тре­уголь­ни­ка ABC, то Тогда:

Най­дем от­но­ше­ние объёмов:

Ответ: 7:1.

Про­ведём вы­со­ты FN и LM пи­ра­мид FABC и В тре­уголь­ни­ках FBN и LBM угол   — общий, а углы и   — пря­мые, зна­чит, эти тре­уголь­ни­ки по­доб­ны по двум углам, от­ку­да:

За­ме­тим, что:

Так как AH  — ме­ди­а­на тре­уголь­ни­ка ABC, то Тогда:

Най­дем от­но­ше­ние объёмов:

Ответ: 3:2.

Осе­вым се­че­ни­ем ко­ну­са яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник ос­но­ва­ние ко­то­ро­го равно диа­мет­ру ко­ну­са. По­это­му ра­ди­ус ос­но­ва­ния этого ко­ну­са равен 2,5.

Ответ: г).

Осе­вым се­че­ни­ем ко­ну­са яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник ос­но­ва­ние ко­то­ро­го равно диа­мет­ру ко­ну­са. По­это­му ра­ди­ус ос­но­ва­ния этого ко­ну­са равен 3,5.

Ответ: в).

Зная пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти, найдём сто­ро­ну AC:

Тогда, пло­щадь ос­но­ва­ния равна:

Пло­щадь се­че­ния будет от­но­сить­ся к плос­ко­сти ос­но­ва­ния, как ко­си­нус угла между ними, тогда по­лу­чим:

Ответ:

Пло­щадь се­че­ния будет от­но­сить­ся к плос­ко­сти ос­но­ва­ния, как ко­си­нус угла между ними, тогда по­лу­чим:

Зная пло­щадь ос­но­ва­ния, найдём сто­ро­ну AC:

Тогда, пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти равна:

Ответ:

Обо­зна­чим вер­ши­ну ко­ну­са за S, центр его ос­но­ва­ния за O, концы ука­зан­ной дуги за A и B, се­ре­ди­ну хорды AB за M и ос­но­ва­ние пер­пен­ди­ку­ля­ра, опу­щен­но­го из O на SM за T.

За­ме­тим, что OM пер­пен­ди­ку­ляр­на AB, так как яв­ля­ет­ся ме­ди­а­ной рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка AOB, и OS пер­пен­ди­ку­ляр­на AB, сле­до­ва­тель­но, и плос­кость MOS пер­пен­ди­ку­ляр­на AB, по­это­му OT пер­пен­ди­ку­ляр­на AB.

Зна­чит, OT пер­пен­ди­ку­ляр­но к двум пе­ре­се­ка­ю­щим­ся пря­мым AB и MS в плос­ко­сти ABS, по­это­му OT и есть рас­сто­я­ние от цен­тра ос­но­ва­ния до плос­ко­сти се­че­ния.

Далее, по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах SM пер­пен­ди­ку­ляр­на AB, по­сколь­ку его про­ек­ция на плос­кость ос­но­ва­ния это OM, пер­пен­ди­ку­ляр­ная AB. Тогда

Тогда:

от­ку­да

Сле­до­ва­тель­но, объем ко­ну­са равен:

Ответ:

Обо­зна­чим вер­ши­ну ко­ну­са за S, центр его ос­но­ва­ния за O, концы ука­зан­ной дуги за A и B, се­ре­ди­ну хорды AB за M и ос­но­ва­ние пер­пен­ди­ку­ля­ра, опу­щен­но­го из O на SM за T.

За­ме­тим, что OM пер­пен­ди­ку­ляр­на AB, так как яв­ля­ет­ся ме­ди­а­ной рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка AOB, и OS пер­пен­ди­ку­ляр­на AB, сле­до­ва­тель­но, и плос­кость MOS пер­пен­ди­ку­ляр­на AB, по­это­му OT пер­пен­ди­ку­ляр­на AB.

Зна­чит, OT пер­пен­ди­ку­ляр­но к двум пе­ре­се­ка­ю­щим­ся пря­мым AB и MS в плос­ко­сти ABS, по­это­му OT и есть рас­сто­я­ние от цен­тра ос­но­ва­ния до плос­ко­сти се­че­ния.

Далее, по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах SM пер­пен­ди­ку­ляр­на AB, по­сколь­ку его про­ек­ция на плос­кость ос­но­ва­ния это OM, пер­пен­ди­ку­ляр­ная AB. Тогда

Тогда:

от­ку­да

Сле­до­ва­тель­но, объём ко­ну­са равен:

Ответ:

Пусть SO  — вы­со­та ко­ну­са, тогда тре­уголь­ник SAB будет яв­лять­ся осе­вым се­че­ни­ем ко­ну­са, где AB  =  2AO. Рас­смот­рим тре­уголь­ник SOA  — пря­мо­уголь­ный: так как лежит про­тив угла 30°. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Пло­щадь осе­во­го се­че­ния равна двум пло­ща­дям тре­уголь­ни­ка SOA, то есть:

Ответ: б.

Пусть SO  — вы­со­та ко­ну­са, тогда тре­уголь­ник SAB будет яв­лять­ся осе­вым се­че­ни­ем ко­ну­са, где AB  =  2AO. Рас­смот­рим тре­уголь­ник SOA, ко­то­рый яв­ля­ет­ся од­но­вре­мен­но пря­мо­уголь­ным и рав­но­бед­рен­ным. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Пло­щадь осе­во­го се­че­ния равна двум пло­ща­дям тре­уголь­ни­ка SOA, то есть:

Ответ: г.